Una Definición del Número.

Biografía de Bertrand Russell.

Lo primero que es necesario esclarecer al buscar una definición del número es lo podemos llamar la gramática de nuestra investigación. Muchos filósofos, al intentar definir el número, intentan más bien definir la pluralidad, que es completamente diferente. El número debe ser característico de los números. Una pluralidad no es un ejemplo de número, sino de algún número de terminado. Un trío de hombres, por ejemplo, es la representación del número3, mientras que el número 3 es una representación del número, pero el trío no es un ejemplo de número. Esto puede parecer apenas elemental y apenas digno de mención, y, sin embargo, se les escapa a los filósofos, con pocas excepciones.

Un número específico no es idéntico a una reunión de unidades que alcanza ese número. El número 3 no es idéntico a un trío humano compuesto por Brown, Jones y Robinson. El número 3 caracteriza algo que tiene en común todos los tríos, algo que los distingue de todos los demás conjuntos. Un número es algo que caracteriza a algunos conjuntos, aquellos precisamente que corresponden a ese número.

En vez de hablar de un "conjunto" diremos, en general, una "clase" o a veces, un "grupo". Otras palabras utilizadas en matemáticas para designar ña misma cosa son un "total" o una "multiplicidad". Más tarde tendremos mucho que decir sobre las clases. Por lo pronto, diremos de ellas lo menos posible. Sin embargo, hay algunas advertencias que deben hacerse inmediatamente.

Un grupo (o conjunto) puede ser definido de dos maneras que, a primera vista, parecen diferentes. Podemos enumerar los competentes diciendo: "el grupo que he visto se compone de Brown, Jones y Robinson". Podemos, también, evocar una propiedad determinada hablando de la humanidad o de los habitantes de Londres. La definición que enumera se llama "extensiva" y la que recuerda una propiedad característica se llama "comprensiva". Lógicamente, de estas dos definiciones la fundamental es la última. Eso se desprende de dos consideraciones: primera, la definición extensiva puede transformarse siempre en otras comprensiva; segunda, muchas veces la definición comprensiva no puede, ni siquiera teóricamente, ser reducida a otra extensiva.

Trataremos ahora la definición del número. Está claro que concebir el número es una manera de agrupar algunos conjuntos, es decir, los que tienen un número dado de términos. Podemos suponer todos los elementos puestos juntos, todos los tríos reunidos, etc. De esta forma obtenemos varios grupos, cada uno de los cuales estará compuesto de todos los conjuntos de igual número de términos. Cada grupo es una clase cuyos miembros son conjuntos, es decir, clase; cada pareja es una clase de dos miembros, y el grupo entero de las parejas es una clase constituida por un número infinito de miembros, cada uno de los cuales constituye una clase de dos miembros.

¿Cómo decidiremos que dos clases pertenecen al mismo grupo?. La respuesta se ofrece: "En contar cuántos miembros contiene cada una de ellas y ponerlas en le mismo grupo si contienen el mismo número de miembros". Pero esto implica que hemos definido los números y que somos capaces de encontrar el número de términos de un conjunto. Estamos de tal modo acostumbrados a las operaciones de numeración, que esta suposición gratuita podría pasar fácilmente desapercibida. De hecho, la numeración, aunque familiar a todos, es lógicamente, una operación muy compleja; además, no puede ser utilizada para saber cuántos términos posee un conjunto más que cuando el conjunto es finito. Nuestra definición de número no debe admitir anticipadamente que todos los números son finitos; no puede en ningún caso, sin caer en círculo vicioso, valerse del acto de contar para definir los números, porque los números son utilizados en la numeración. También tenemos necesidad de otros métodos para decidir cuándo dos conjuntos tienen el mismo número de términos.

En realidad, lógicamente, encontrar si dos clases tienen el mismo número de términos, que definir qué es ese número. Un ejemplo clarifica a esto. Si en el mundo no hubiese poligamia, ni poliandria, es evidente que el número de esposos vivos sería igual al de esposas. No nos hace falta un censo para estar seguros del hecho, lo mismo que no tenemos necesidad de conocer el número de esposas y de esposos. Sabemos que el número será el mismo, en cada clase, porque cada esposo tiene una esposa y cada esposa tiene un esposo. La relación de marido y mujer se llama entonces "uno a uno".

La relación se llama "uno a uno" cuando si x tiene la referida situación con y, ningún otro término x está en la misma relación con y, ni x está con otro término y´ en la misma relación que con y. Cuando solamente se cumple la primera de estas condiciones, la relación se llama "uno a varios"; cuando solo se cumple la segunda, esa relación se convierte en "varios a uno". Se notará que, en estas definiciones, no se emplea el mismo número.

En los países cristianos, la relación de marido a mujer es de "uno a uno"; en las comarcas mahometanas, de "uno a varios"; en el Tíbet es de "varios a uno". Si n es un número cualquiera, la relación de n a n x 1 es de la forma de "uno a uno"; la misma relación existe entre n y 2 n ó 3n. Si sólo consideramos los números positivos, la relación de n a n2 es de "uno a uno"; pero si tenemos en cuenta los números negativos, esa relación se convierte de "uno a dos", puesto que n y -n tiene el mismo cuadrado. Estos ejemplos deben ser suficientes para esclarecer la noción de las relaciones "uno a uno", "uno a varios", "varios a uno", que juegan un gran papel en los principios matemáticos no sólo a propósito de la definición de los números, sino en muchos otros casos.

Dos grupos se llaman "semejantes" cuando los términos de una clase están en relación de "uno a uno" con cada uno de los términos de la otra clase, de la misma manera que los lazos del matrimonio unen a los esposos con las esposas. Algunas advertencias preliminares van a ayudarnos a precisar esta definición. Las clases de los términos que tienen una relación dada con una cosa u otra se llaman el ámbito de esa relación; así, los padres constituyen el ámbito de la relación de padres a hijos, los maridos forman el ámbito de la relación esposo-esposa, las esposas son el ámbito de la relación esposas-esposos, mientras que los esposos y las esposas juntos forman el ámbito de la relación del matrimonio. La relación de la esposa al esposo se llama la recíproca de la relación del esposo a la esposa. Del mismo modo, menos es la relación de más; después, la recíproca de antes, etc. Generalmente, la reciproca de una relación dada es la que une y a x cuando la relación dada une x a y. El ámbito recíproco de una relación es el ámbito de su recíproco: así, la clase de las mujeres es el ámbito recíproco de la relación esposo a esposa. Ahora podemos establecer como sigue nuestra definición de la similitud.

Una clase se llama semejante a otra cuando existe una relación "uno a uno", en la cual una clase es el ámbito, mientras que la otra es el ámbito recíproco.

Es fácil establecer: 1ero. que cada clase es semejante a sí misma; 2do que si una clase a es semejante a una clase b, la clase b es semejante a la clase a; 3ero. que sí a es semejante a b y b a y, entonces a es semejante a y Una relación sé llama refleja cuando posee la primera de esas cualidades, es simétrica cuando está dotada de la segunda, y transitiva si goza de la tercera. Es evidente que una relación a la simétrica y transitiva se refleja en todo su ámbito. Las relaciones que tienen estas propiedades tienen una gran importancia y es conveniente señalar que la similitud es una relación de esa especie.

Es evidente que dos clases finitas tienen el mismo número de términos si son semejantes, pero no al revés. El acta de numeración consiste en establecer una relación "uno-uno" entre el grupo de objetos a contar y los números naturales (exceptuando el cero) que son empleados en la operación. También el sentido común llega a la conclusión de que, en el grupo que se cuenta, hay tantos objetos como el valor del último empleado en la cuenta.

Conocemos también, en cuanto nos limitamos a considerar los números finitos, que desde 1 hasta n hay exactamente n números. También resulta de ello que el último número utilizado en la cuenta de un conjunto representa el número de términos del conjunto, dado que este conjunto sea finito. Pero este resultado, además de ser sólo aplicables a conjuntos finitos, depende, admitiéndolo por anticipado, del hecho de que dos clases semejantes tienen el mismo número de términos, pues lo que hacemos al contar (digamos) 10 objetos es demostrar que el conjunto de estos objetos sé semejante al conjunto de números que van desde 1 a 10. La noción de similitud está lógicamente implicada en la operación de numeración; es lógicamente, más simple, aunque menos familiar. Al contar, hay que tomar los objetos contados en un cierto orden, tal como primero, segundo, tercero, etc.; pero el orden no es la esencia del número, es una adición fuera de propósito, una complicación sin utilidad, desde el punto de vista lógico. El término similitud es independiente del orden: por ejemplo, hemos visto el número de esposos es igual al número de esposas sin haber establecido un orden de precedencia entre esas unidades. La noción de similitud sólo exige que las clases semejantes sean finitas. Tomemos, por ejemplo, los números naturales (exceptuando el cero), por una parte; por otra, las fracciones que tienen como numerador del 1; está claro que podemos hacer corresponder el 2 con el 1/2, y el 3 con el 1/3, y continuar así, de modo que se demuestre que las dos clases son semejantes.

Así mismo utilizar la noción de similitud para decidir si dos conjuntos deben pertenecer al mismo grupo, en el sentido que hemos planteado la cuestión más arriba, en este capítulo. Formaremos un grupo con la clase que no contienen ningún término; ése será el número cero. Después, formaremos un grupo de todas las clases que sólo encierran un término; ése corresponderá al número 1. Y, después, para el número 2, agruparemos todas las parejas, y, después, todos los 3, continuando así. De un conjunto cualquiera, podemos definir el grupo a que pertenece como la clase de todos los conjuntos semejantes a él. Es muy fácil ver, por ejemplo, que si un conjunto es de 3 miembros, la clase de todos los conjuntos semejantes a él será la clase de los tríos. Cualquiera que sea el número de los términos que tenga un conjunto, los que le son semejantes tendrán el mismo número de términos que él.

Podemos tomar eso como definición de la expresión "tener el mismo número de términos". Es evidente que obtenemos resultados conformes al uso corriente en cuanto nos limitamos a los conjuntos finitos.

Hasta ahora no hemos presentados nada que permanezca tan alejado del mundo paradójico. Pero, al llegar a la definición de los números, no podemos evitar la introducción de algo que, en primer momento, parece una paradoja, aunque esta impresión se borre enseguida. Naturalmente, pensamos que la clase de parejas, por ejemplo, difiere del número 2. No hay duda alguna a propósito de la clase de parejas: es más fácil de definir, mientras que el número 2, por el contrario, es una entidad metafísica, cuya existencia no nos parece segura y que no estamos seguros de haber alcanzado. En consecuencia, es prudente contentarnos con las clases de parejas que nos suministran una certidumbre, mejor que correr tras el problemático número 2, que se nos puede siempre escapar. También propondremos la definición siguiente:

El número de una clase es la clase de todas las clases que son semejantes a él.

De este modo, el número de una pareja será la clase de todas las parejas. De hecho, la clase de todas las parejas será el número 2, según nuestra definición. Gracias a la ayuda de una pequeña rareza, esta definición suministra algo determinado e indisoluble; no es difícil que los números, definidos de esta manera, estén dotados de todas las propiedades que esperábamos encontrar en los números.

Podemos ahora definir los números en general como uno cualquiera de los grupos en cuyo interior la semejanza junto a las clases. Un número será un grupo de clases tales que dos cualquiera de ellas serán semejantes entre sí, y que ninguna exterior al grupo será semejante a una clase que forma parte de él. En otros términos, un número, en general, es un conjunto que representa el número de uno de sus miembros; o más simplemente aún:

Un número es lo que representa el número de una clase.

Semejante definición, después del uso de las palabras, tiene apariencia de un círculo vicioso; en realidad no es así. Lo hemos definido como "el número de una clase dada", sin utilizar la noción general de número; por consiguiente, podemos definir el número en general en función del "número de una clase dada", sin cometer un error de lógica.

Fragmento de The Principles of Mathematics (1903).